Temas selectos del análisis

Semestre Agosto 2008 – Enero 2009

Horario: Lunes, Miércoles 15:00 – 17:00 hrs.

Programa analítico

Notas relacionadas

Referencias:

  • Krantz, S. G., Complex Analysis: The Geometric Viewpoint, 2nd Ed., Carus Mathematical Monographs, MAA, 2004
  • Krantz, S. G., Geometric Function Theory: Explorations in Complex Analysis, Birkhäuser, 2006
  • Helgason, S., Topics in Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces, Birkhäuser, 1981
  • Helgason, S., Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 83, AMS, 2002
  • Stein, E. M. & Weiss, G., Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,  Princeton, 1971

Contenido: En este curso estudiaremos una selección de temas del análisis moderno, tomados de las bases del análisis complejo y del análisis armónico. El curso consistirá en dos partes:

  1. Geometría en el plano complejo. En esta parte discutiremos métricas definidas en una región del plano complejo, así como la idea de curvatura y aplicaciones al análisis complejo. Estudiaremos también la relación entre funciones holomorfas e isometrías, además de métricas especiales como las de Carathéodory y de Kobayashi.
  2. Análisis armónico en espacios homogéneos. En esta parte estudiaremos la descomposición espectral de operadores invariantes bajo traslaciones, en tres espacios de dimensión 2: el plano euclideano, la esfera y el plano de Poincaré (hiperbólico). Estudiaremos la relación entre el análisis de Fourier estándar, en el plano, y el análisis de Fourier en la esfera y el plano hiperbólico. En este último aplicaremos las ideas geométricas desarrolladas en la primera parte.

Tareas: Las tareas consistirán en problemas propuestos. Estos no serán evaluados, pero sí serán discutidos en clase. Es muy recomendable que el estudiante resuelva estos problemas para una mejor comprensión del contenido del curso.

Exámenes parciales: La evaluación parcial consistirá en: 60% asistencia, 20% participación en clase, y 20% presentación de un proyecto.

Examen ordinario: La evaluación ordinaria consistirá en una presentación de un proyecto, la cual proveerá el 100% de la calificación parcial.