Análisis en fractales

Semestre agosto 2010 – enero 2010

Horario: Jueves, Viernes, 3:00pm

Notas relacionadas

Texto: M. Yamaguti, M. Hata y J. Kigami, Mathematics of Fractals, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 167, AMS, 1997

Referencias adicionales:

  • M. T. Barlow, Diffusion on Fractals, Lectures on Probability Theory and Statistics (Saint-Flour, 1995), Springer, Berlin, 1998, pp. 1-121
  • G. B. Folland, Real Analysis : Modern Techniques and their Applications, 2a Ed., John Wiley & Sons, 1999
  • J. Kigami, Analysis on Fractals, Cambridge University Press, Cambridge, 2001
  • E. M. Stein y R. Shakarchi, Real Analysis : Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2005
  • R. Strichartz, Differential equations on fractals: a tutorial, Princeton University Press, 2006

Contenido: Este seminario constituye una introducción al análisis en fractales, desde los conceptos básicos de dimensión hasta el análisis de una estructura armónica en un conjunto post-críticamente finito. Empezaremos con los principios de teoría de la medida, medida de Lebesgue, medida de Hausdorff, para obtener los requisitos necesarios para definir la dimensión de Hausdorff y su cálculo en fractales autosimilares con el teorema de Hutchinson. Discutiremos la construcción de un Laplaciano y sus funciones armónicas en el triángulo de Sierpisnki, y generalizaremos estas ideas a la clase de conjuntos post-críticamente finitos.

Programa:

  1. Teoría de la medida
  2. Fundamentos de fractales
  3. Conjuntos autosimilares
  4. Análisis en fractales
  5. Conjuntos postcríticamente finitos

Tareas: Las tareas consistirán en problemas asignados y, aunque no serán evaluadas, su solución será discutida en clase.

Presentaciones: Los estudiantes deberán presentar material asignado por el profesor, que será discutido, además, por el grupo. Estas presentaciones corresponderán al 100% de la calificación parcial.

Presentación final: El examen ordinario consistirá en una presentación final, que corresponderá al 100% de la calificación final.