Tarea 15, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 26 de mayo

Problema 1

Considera las siguientes transformaciones lineales

  • T:\C^2\to\C^2 dada por multiplicación por \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}
  • T:\C^3\to\C^3 dada por multiplicación por \begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
  • T:\C^4 \to \C^4 dada por multiplicación por \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
  • T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2 dada por Tp(x) = p(1)x^2 + p'(x)x + p''(x) + p(0)

Para cada una de ellas:

  1. calcula el determinante;
  2. calcula el polinomio característico;
  3. verifica que el coeficiente libre de su polinomio característico es \pm 1 veces su determinante;
  4. calcula sus eigenvalores; y
  5. encuentra una base tal que la matriz con respecto a ella es triangular.

Problema 2

Sea V un espacio complejo y y T:V\to V lineal. Muestra que V tiene una base de eigenvectores de T si y solo si el polinomio mínimo de T no tiene raíces repetidas.

Problema 3

Averigua la veracidad de la identidad

\det(T + S) = \det T + \det S.

Problema 4

Muestra que, si A, B son bloques de la matrix M = \begin{pmatrix} A & * \\ 0 & B \end{pmatrix}, entonces

\det M = (\det A)(\det B).

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