Tarea 14, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 19 de mayo

Problema 1

Calcula el polinomio mínimo de las siguientes transformaciones lineales. Utilízalo para calcular los eigenvalores de cada una.

  1. T:\C^2\to\C^2 dada por multiplicación por la matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
  2. T:\C^2\to\C^2 dada por multiplicación por la matriz
  3. T:\C^3\to\C^3 dada por multiplicación por la matriz A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}
  4. T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2 dada por Tp(x) = (x-1)^2 p''(x)+2p(x)

Problema 2

  1. Da un ejemplo de una transformación lineal T:\C^3\to\C^3 cuyo polinomio mínimo sea p_m(x) = x^2.
  2. Da un ejemplo de una transformación lineal T:\C^4\to\C^4 cuyo polinomio mínimo sea p_m(x) = x(x-1)^2.

Problema 3

Sean T:V\to V lineal y v\in V. Sea p(x) el polinomio mónico de grado mínimo tal que p(T)v=0. Muestra que p(x) divide al polinomio mínimo de T.

Problema 4

Sea T:V\to V invertible. Muestra que existe un polinomio p(x) tal que T^{-1} = p(T).

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