Tarea 13, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 12 de mayo

Problema 1

Calcula los eigenvalores y eigenvectores de las siguientes transformaciones lineales. Indica en cada caso si los eigenvectores forman una base.

  1. T:\C^2\to\C^2 dada por multiplicación por las siguientes matrices:
    • A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
    • A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}
    • A = \begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}
    • A = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
  2. T:\C^3 \to\C^3 dada por multiplicación por la matriz
    A = \begin{pmatrix}4&-3&1\\1&0&1\\0&0&3\end{pmatrix}
  3. T:\mathscr M_{2,2}\to\mathscr M_{2,2} dada por T(A) = A^H
  4. T:\mathscr P_2 \to \mathscr P_2 dada por Tp(x) = p''(x) + p'(x) + p(x) + p(0)

Problema 2

Sea P:V\to V una transformación idempotente: o sea, P^2 = P. ¿Cuáles son los posibles eigenvalores y eigenespacios de P?

Problema 3

Sea T:V\to V tal que todo vector de V es un eigenvector de T. Muestra que T es una multiplicación escalar.

Problema 4

Sean T,S:V\to V transformaciones lineales. Muestra que TS y ST tienen los mismos eigenvalores.

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