Tarea 12, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 5 de mayo

Problema 1

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix}1& 2&2&4\\2 & 4 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 & 2\end{pmatrix}.

  1. Encuentra el rango de A.
  2. Encuentra la dimensión de \ker A^H.
  3. Explica si los vectores \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} forman una base para (\ker A^H)^\perp.

Problema 2

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3 + i\\ 2 & 3 & -1 + i \\ 4 & i & 3-5i\end{pmatrix}.

  1. Encuentra \rho(A).
  2. Encuentra las dimensiones de \ker A^H, (\ker A^H)^\perp.
  3. Calcula la matriz de Gram A^H A, y calcula su rango.

Problema 3

Calcula la matriz de Gram G para la base estándar \{1, x, x^2\} de \mathscr P_2 con respecto a cada uno de los siguientes productos internos.

  1. \langle p, q \rangle = \int_0^1 pq
  2. \langle p, q \rangle = \int_{-1}^1 pq
  3. \langle p, q \rangle = \sum_{k=-2}^2 p(k/2) q(k/2)

Para cada caso, verifica que \langle p,q \rangle = v^HGu, donde uv son los vectores columna de los polinomios p(x) = 1 - 2x + x^2 y q(x) = 1 + x + x^2 esctitos en la base estándar.

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