Tarea 11, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 28 de abril

Problema 1

Sea U = \gen\Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}. Para cada uno de los siguientes vectores v, obtén la proyección ortogonal de v sobre U con dos métodos: primero, usando una base ortonormal de U, y, segundo, usando la matrix de Gram asociada.

  1. v = \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}
  2. v = \begin{pmatrix}4\\0\\1\\2\end{pmatrix}
  3. v = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}

Calcula, además, la matrix de la proyección con respecto a la base estándar.

Problema 2

Sea U el plano x + y + z + w = 0 en \R^4. Calcula la proyección ortogonal sobre U de los siguientes vectores.

  1. v = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}
  2. v = \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{pmatrix}
  3. v = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}

Problema 3

Sea f(x) = 1, y considera el producto interno \langle g, h\rangle = \int_{-1}^1 gh. Calcula el polinomio p\in U, para cada uno de los siguientes espacios, que minimiza la norma ||f - p||.

  1. U = \{p\in\mathscr P_3: p(0)=0\}
  2. U = \{p\in\mathscr P_3: p(0) = p(1) = 0\}
  3. U = \{ p\in\mathscr P_3 : \int_{-1}^1 p = 0\}

Problema 4

La fuerza laboral en los EEUU (en millones) entre 1930 y 1990 está dada en la siguiente tabla:

1930 29.4
1935 27.1
1940 32.4
1945 40.4
1950 45.2
1955 50.7
1960 54.2
1965 60.8
1970 70.9
1975 76.9
1980 90.6
1985 94.5
1990 103.9

Calcula polinomios de aproximación de grado n = 1, 2, \ldots, decide cuál es más representativo de los datos, y realiza una predicción de los valores en 1995 y 2000.

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