Tarea 10, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 7 de abril

Problema 1

Averigua si las siguientes funciones escalares son productos internos en el espacio vectorial indicado.

  1. En \R^2, \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 - 5x_1y_2 - 5x_2y_1 + 4x_2y_2
  2. En \R^2, \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 + 5x_1y_2 + 5x_2y_1 + x_2y_2
  3. En \mathscr P_2, \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)
  4. En \mathscr P_3\langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)

Problema 2

Usa la ley de cosenos para mostrar que, si x,y\in\R^2, entonces

x\cdot y = |x| |y| \cos\theta,

donde \theta es el ángulo entre xy.

Problema 3

Si V es un espacio con producto interno real y u,v\in V, muestra que

\langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2\big).

Problema 4

Si V es un espacio con producto interno complejo y u,v\in V, muestra que

\langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2 + i||u+iv||^2 - i||u-iv||^2\big).

Problema 5

Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para encontrar bases ortonormales de \R^3 a partir de las bases dadas.

  1. \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
  2. \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

Problema 6

Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para encontrar bases ortonormales de \mathscr P_2 a partir de la base 1, x, x^2 con respecto a los productos internos dados.

  1. \displaystyle \langle p,q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x) x(1-x) dx
  2. \displaystyle \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + \int_0^1 p'(x)q'(x) dx + p(1)q(1)
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