Tarea 7, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 17 de marzo

Problema 1

Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación Tx = Ax. Calcula una base para \ker T, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de \rg T.

  1. A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}
  2. A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 5\\ 2 & 0 & -2 & 1 & 6\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}
  3. A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -2 & -4\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}
  4. A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}

Problema 2

Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación Tx = Ax. Calcula una base para \rg T, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de \ker T.

  1. A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  2. A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 5\end{pmatrix}
  3. A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 3 & -1\\-2 & 2 & 6\end{pmatrix}
  4. A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}

Problema 3

Sean AQ matrices de m\times n, y R una matriz de n\times n, tales que A=QR. Si \rho(A)=n:

  1. Muestra que R es no singular.
  2. Determina, si es posible, \rho(Q)

¿Existe una relación general entre \rho(A) y \rho(Q)?

Problema 4

Sean VW espacios de dimensión finita, y U un subespacio de V. Muestra que existe una transformación lineal T:V\to W tal que \ker T = U si y solo si \dim U \ge \dim V - \dim W.

Problema 5

Sea V de dimensión finita y T:V\to V lineal. Muestra que T es una multiplicación escalar si y solo si TS = ST para toda transformación lineal S:V\to V.

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