Tarea 6, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 10 de marzo

Problema 1

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1\\2 & 4 & 1 & -2 & 2 & 3\end{pmatrix}

  1. Encuentra una base para \ker A
  2. Encuentra bases para \rg A, utilizando los dos métodos vistos en clase.

Problema 2

Sea A una matriz de m\times n de rango 1. Muestra que existen vectores

\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix} \in\mathbb K^m \qqy \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^n

tales que

.

Problema 3

Demuestra que, para cada vector v\in\R^{n+1}, existe un polinomio p(x)\in\mathscr P_n tal que

\displaystyle v_k = \int_k^{k+1} p(x) dx.

Problema 4

Sea A una matriz de m\times n tal que su forma reducida tiene exactamente r renglones desiguales a 0. Explica qué relaciones deben satisfacer m, n, r para que la transformación lineal x\mapsto Ax:

  1. sea inyectiva
  2. sea sobreyectiva
  3. Sea inyectiva pero no sobreyectiva
  4. sea sobreyectiva pero no inyectiva

Problema 5

Considera el espacio M de cuadrados mágicos

A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}.

Para cada una de las siguientes transformaciones lineales T:\mathbf M\to\R^3, calcula una base para \ker T, para \rg T, e indica cuáles son invertibles.

  1. T(A) = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}
  2. T(A) = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix}
  3. T(A) = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{23}\\a_{32}\end{pmatrix}

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