Tarea 5, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 3 de marzo

Problema 1

Indica si las siguientes transformaciones lineales son inyectivas y/o sobreyectivas. Calcula su espacio nulo.

  1. T:\R^4\to\R^4 dada por T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&0&1&2\\1&2&3&0\\1&-1&0&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}
  2. T:\mathbb K^\infty \to \mathbb K^\infty dada por T(a_1,a_2,a_3,\ldots) = (a_2, a_3,\ldots)
  3. T:\mathcal M_{2,2}\to \mathcal M_{2,2} dada por TA = A + A^t, donde A^t es la transpuesta de A
  4. T:\mathbf M\to\R^3 dada por T\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}, donde M es el espacio de cuadrados mágicos.

Problema 2

Sea T:V\to W una transformación lineal.

  1. Si T es inyectiva y v_1, v_2, \ldots, v_n son linealmente independientes en V, entonces Tv_1, Tv_2, \ldots, Tv_n son linealmente independientes en W.
  2. Si T es sobreyectiva y V = \gen\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}, entonces .

Problema 3

Sea \dim V=1 y T:V\to V lineal. Muestra que existe m\in\K tal que Tv = mv para todo v\in V. En otras palabras, las únicas transformaciones lineales de un espacio unidimensional en sí mismo son las multiplicaciones escalares.

Problema 4

Da un ejemplo de una función f:\R^2\to\R no lineal tal que f(\alpha v) = \alpha f(v) para todo \alpha\in\R y v\in\R^2. En otras palabras, invarianza bajo multiplicación escalar no implica linealidad.

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