Tarea 3, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 17 de febrero

Problema 1

Averigua si los siguientes vectores se encuentran en el espacio generado dado:

  1. x^2+1 en \gen\{ 1, x-2, (x-2)^2\}\subset\mathscr P
  2. \begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix} en \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3
  3. \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} en \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3
  4. \sen^2x en \gen\{1, \cos x, \cos 2x, \cos 3x, \cos 4x,\ldots\}\subset C

Problema 2

Muestra que, si los vectores v_1, v_2, \ldots, v_k generan el espacio V, entonces también lo hacen los vectores

v_1 - v_2, v_2 - v_3, \ldots, v_{k-1} - v_k, v_k.

Problema 3

Averigua si los siguientes vectores son linealmente independientes:

  1. en \R^3
  2. en \R^3
  3. \begin{pmatrix}1 + i\\1 - i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix} en \C^2
  4. (x+1)^2, (x-1)^2, (x+2)^2 en \mathscr P_2

Problema 4

Sean v_1, v_2, \ldots, v_k\in V linealmente independientes y u\in V. Muestra que, si los vectores v_1 + u, v_2 + u, \ldots, v_k + u son dependientes, entonces u\in\gen\{v_1, v_2, \ldots, v_k\}.

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