Tarea 2, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 10 de febrero

Problema 1

Indica cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre el campo dado, con las operaciones descritas

  1. Los números reales \R sobre \Q, con suma y multiplicación usuales
  2. El conjunto de las funciones discontinuas en 0 en \R, sobre \R, con suma de funciones y multiplicación escalar usuales
  3. El conjunto \R_+ de números positivos, sobre \R, con suma x\oplus y = xy y multiplicación escalar \alpha x = x^\alpha
  4. El conjunto V de parejas (x,y) de números reales, sobre \R, con suma (x,y)\oplus(u,v) = (x + u, y + v) y multiplicación escalar \alpha(x,y) = (\alpha x, 2\alpha y)

Problema 2

Demuestra las siguientes propiedades de un espacio vectorial V sobre el campo \mathbb K

  1. Para todo \alpha\in\mathbb K, \alpha\cdot 0 = 0
  2. El negativo -v de cada v\in V es único
  3. Para cada u, v\in V, w = v - u es el único vector que satisface u + w = v.

Problema 3

Indica cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios del espacio vectorial dado

  1. V=\{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 + x_2 + x_3 = 1\} \subset \R^3
  2. V = \{(x_1, x_2, x_3) : x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 0\} \subset \R^3
  3. El conjunto V\subset C de funciones impares
  4. V = \{ f\in C: \int_0^1 f = 0\}
  5. El conjunto \mathscr P_n \subset \mathscr P de polinomios de grado menor o igual a n.

Problema 4

Un cuadrado mágico es una matriz A = (a_{ij}) de 3\times 3 tal que la suma de las entradas de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal, son iguales; es decir

\begin{array}{rcl} a_{11} + a_{12} + a_{13} &=& a_{21} + a_{22} + a_{23} = a_{31} + a_{32} + a_{33} = a_{11} + a_{21} + a_{31} \\ &=& a_{12} + a_{22} + a_{32} = a_{13} + a_{23} + a_{33} = a_{11} + a_{22} + a_{33} \\ &=& a_{13} + a_{22} + a_{31} \end{array}

Sea M el conjunto de cuadrados mágicos.

  1. Muestra que M es subespacio del espacio de matrices de 3\times 3
  2. Muestra que el primer renglón determina a un cuadrado mágico
  3. ¿Cualquier renglón determina a un cuadrado mágico? ¿Cualquier columna? ¿Cualquier diagonal?
  4. ¿Existen cuadrados mágicos simétricos no triviales (no todas sus entradas iguales)?
  5. ¿Existen cuadrados mágicos espejo (sus primera y tercera columnas son iguales) no triviales?
  6. ¿Existen cuadrados mágicos no triviales, tales que sus primera y tercera columna, y sus primer y tercer renglón, son iguales?
  7. ¿Existen cuadrados mágicos no triviales tales que sus diagonales son iguales?
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