Tarea 15, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 25 de noviembre

Problema 1

Considera las funciones en [0,1] dadas por

f(x) = \begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\not\in\Q\end{cases}\qquad

y

\quad g(x) = \begin{cases}1/q&x=p/q\in\Q, \text{mcd}(p,q)=1\\0&x\not\in\Q.\end{cases}

Muestra que f no es Riemann-integrable, y que g sí lo es.

Problema 2

Da un ejemplo de dos funciones f:[a,b]\to[-M,M] y g:[-M,M]\to\R Riemann-integrables tales que g\circ f no lo es.

Problema 3

Encuentra los siguientes límites. (Sugerencia: utiliza sumas de Riemann de funciones apropiadas.)

  1. \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(e^{1/n} + e^{2/n} + \ldots+e^{n/n})
  2. \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{k+1}}(1^k + 2^k + \ldots + n^k)
  3. \displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\Big(\frac{1}{n^3+1^3} + \frac{1}{n^3+2^3} + \ldots + \frac{1}{n^3+n^3}\Big)
  4. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}

Problema 4

Sea f:[0,1]\to\R Riemann-integrable y |q|<1. Muestra que

\displaystyle\lim_{q\to 1^-}(1-q)\sum_{n=1}^\infty q^nf(q^n) = \int_0^1 f.

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