Problemas 4-5

Escuela de Análisis matemático

Análisis de Fourier y operadores de multiplicación

  1. Construye una función explícita \eta como la que se necesita en la demostración del teorema de Marcinkiewicz: \eta\in C^\infty(\R^d) tal que \eta(\xi)=1 si |\xi|\le 1 y \eta(\xi)=0 si |\xi|\ge 2. (Sugerencia: considera la función en \R dada por
    \phi(t) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{(1+t)^2}}e^{-\frac{1}{(1-t)^2}} & |t|<1\\ 0 & |t|\ge 1.) \end{cases}
  2. La hipótesis del teorema de Marcinkiewicz puede ser reemplazada por la condición
    \displaystyle \sup_{R>0} R^{-d + 2|\alpha|} \int_{R\le|\xi|\le 2R} |\partial_\xi^\alpha m(\xi)|^2 d\xi \le A_\alpha
    para todo 0\le|\alpha|\le l, donde l es el menor entero mayor que d/2.
  3. El multiplicador de Böchner-Riesz m(\xi) = (1 - |\xi|^2)^\delta \chi_{\mathbb B}(\xi) satisface las hipótesis del teorema de Marcinkiewicz cuando \delta > (d-1)/2.
  4. Si K satisface |\nabla K(x)|\le \dfrac{A}{|x|^{d+1}}, entonces es un kernel de Calderón-Zygmund.
  5. La transformada de Hilbert \displaystyle Hf(x) = \lim_{\e\to0}\frac{1}{\pi} \int_{|t|>\e} \frac{f(x-t)}{t}dt es un operador de multiplicación con multiplicador m(\xi) = i\text{sgn}(\xi). Muestra que la distribución K(x) = \dfrac{1}{\pi x} es un kernel de Calderón-Zygmund.
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