Problemas 3

Escuela de Análisis matemático

Análisis de Fourier y operadores de multiplicación

  1. Sea m\in L^\infty(\R^d), m_R(\xi) = m(\xi/R) para R>0, y considera el operador de multiplicación dado por \widehat{T_Rf}(\xi) = m_R(\xi)\hat f(\xi). Si ||T_1f||_{L^p} \le M ||f||_{L^p}, entonces ||T_Rf||_{L^p} \le M||f||_{L^p} para todo R>0.
  2. Sean T_1,T_2 dos triángulos contiguos como en la figura, cada uno de base b y altura h, y sea \tilde T_2 el triángulo que resulta de trasladar a la izquierda el triángulo T_2 una distancia 2(1-\alpha)b, para 1/2 < \alpha < 1. Entonces |T_1\cup\tilde T_2| = (\alpha^2 + 2(1-\alpha)^2)|T_1\cup T_2|.
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  3. f(\alpha) = \alpha^2 -2 (1-\alpha)^2 < 1 para todo \alpha\in(1/2,1), y tiene mínimo 2/3.
    1. Para todo n\in\N, A_n = \alpha^{2n} + 2(1-\alpha)^2 + 2(1-\alpha)^2\alpha^2 + \ldots + 2(1-\alpha)^2\alpha^{2n} \le \alpha^{2n} + 2(1-\alpha).
    2. Dado \e>0, existen \alpha>0, n\in\N tales que A_n < \e.
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