Problemas 2

Escuela de Análisis matemático

Análisis de Fourier y operadores de multiplicación

  1. Si f\in L^p(\R^d) y g\in L^1(\R^d), entonces f*g\in L^p(\R^d) y ||f*g||_{L^p} \le ||f||_{L^p} ||g||_{L^1}.
    1. Si f\in L^1(\R^d)\cap L^2(\R^d), entonces ||\hat f||_{L^2} = ||f||_{L^2}. (Sugerencia: Considera h=f*g, con g(x) = \overline{f(-x)}, y nota que h(0) = \int \hat h.)
    2. El operador f\mapsto \hat f es sobreyectivo en L^2(\R^d). (Sugerencia: Si no, existiría g\in L^2 tal que \int \hat f g = 0 para toda f\in L^2. Utiliza el pasito del sombrero.)
    1. Sea h(x) = \begin{cases} 0 & x<0\\1 & x\ge 0\end{cases} la función de Heaviside. Como distribuciones, h' = \delta, la función delta de Dirac.
    2. Sea \mathbf 1 la función constante igual a 1. Como distribuciones, \hat{\mathbf 1} = \delta.
Post Tagged with 

Comments & Responses

Leave a Reply