Tarea 6, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 16 de marzo

Problema 1

Decimos que un subconjunto de \{1, 2, \ldots, n\} es extraordinario si satisface que su mínimo es igual a su número de elementos, o sea \min S = |S|. Por ejemplo, \{3,5,8\} es extraordinario. Muestra que el número de subconjuntos extraordinarios de \{1, 2, \ldots, n\} es igual al número de Fibonacci F_n.

Problema 2

Sean 2n puntos equidistantes en un círculo, y f_n el número de formas en que podemos unir estos puntos en pares, de tal manera que los n segmentos no se crucen. Encuentra una fórmula recursiva para f_n.

Problema 3

Muestra que el número de arreglos de 2\times n

\begin{pmatrix}x_{11}& x_{12}&\ldots& x_{1n}\\x_{21}& x_{22}&\ldots& x_{2n}\end{pmatrix}

con los números 1, 2, \ldots, 2n de tal forma que cada renglón y cada columna es creciente, es igual a C_n.

Problema 4

Determina la división en diagonales del polígono convexo que corresponde a las siguientes multiplicaciones.

  1. a_1\times(((a_2\times a_3)\times(a_4\times a_5))\times a_6)
  2. ((a_1\times a_2)\times (a_3\times (a_4\times a_5)))\times((a_6\times a_7)\times a_8)

Problema 5

  1. Calcula la tabla de diferencias para la sucesión x_n = 2n^2-n+3, y encuentra una fórmula para \sum_{k=0}^n x_k.
  2. Si la sucesión x_n está determinada por un polinomio cúbico, y los primeros términos del renglón 0 de su tabla de diferencias son 1, -1, 3, 10, determina x_n y encuentra una fórmula para \sum_{k=0}^n x_k.
  3. Encuentra la suma 1^5 + 2^5 + \ldots + n^5.

Problema 6

Muestra las siguientes identidades de los números de Stirling del segundo tipo.

  1. S(n,1) = 1, \quad n\ge1
  2. S(n,2) = 2^{n-1}-1, \quad n\ge 2
  3. S(n,n-1) = \binom{n}{2}, \quad n\ge1
  4. S(n,n-2) = \binom{n}{3} + 3\binom{n}{4}, \quad n\ge 2.

 

 

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