Tarea 5, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 9 de marzo

Problema 1

  1. Muestra que F_{3n} es par.
  2. Muestra que F_{5n} es divisible entre 5.

Problema 2

  1. Muestra las siguientes identidades.
  1. F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}
  2. F_0^2 + F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n\cdot F_{n+1}
  3. \displaystyle \binom{n}{0}F_0 + \binom{n}{1}F_1 + \binom{n}{2}F_2 + \ldots + \binom{n}{n}F_n = F_{2n}
  4. \displaystyle \binom{n}{0}F_1 + \binom{n}{1}F_2 + \binom{n}{2}F_3 + \ldots + \binom{n}{n}F_{n+1} = F_{2n+1}

Problema 3

¿Cuántos subconjuntos de {1, 2, 3, …, n} no contienen dos enteros consecutivos?

Problema 4

Los números de Lucas L_0, L_1, L_2, L_3, \ldots satisfacen la ecuación de recurrencia

L_n = L_{n-1} + L_{n-2}

con términos iniciales L_0 = 2, L_1 = 1.

  1. Muestra que L_n = F_{n-1} + F_{n+1} para n\ge1.
  2. Encuentra una fórmula explícita para L_n.

Problema 5

Resuelve las siguientes ecuaciones de recurrencia.

  1. x_n = x_{n-1} + 9x_{n-2} - 9x_{n-3},\quad n\ge3;\qquad x_0=0, x_1 = 1, x_2 = 2
  2. x_n = 3x_{n-1} + 2,\quad n\ge1;\qquad x_0 = 1
  3. x_n = 6x_{n-1} - 9x_{n-2} + 2n,\quad n\ge2; \qquad x_0 = 1, x_1 = 0
  4. x_n = 4x_{n-1} + 4^n,\quad n\ge1; \qquad x_0 = 3

 

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