Tarea 4, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 2 de marzo

Problema 1

Demuestra las identidades

  1. \displaystyle\binom{n}{0}\binom{m}{k} + \binom{n}{1}\binom{m}{k-1} + \cdots + \binom{n}{k-1}\binom{m}{1} + \binom{n}{k}\binom{m}{0} = \binom{n+m}{k}.
  2. \displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \cdots + (-1)^m \binom{n}{m} = (-1)^m\binom{n-1}{m}.
  3. \displaystyle\binom{n}{0}\binom{0}{m} + \binom{n}{1}\binom{1}{m} + \binom{n}{2}\binom{2}{m} + \binom{n}{3}\binom{3}{m} + \cdots + \binom{n}{n}\binom{n}{m} = \binom{n}{m} 2^{n-m}.

En 3, suponemos que m\le n y, en caso que k<m, entonces

\displaystyle\binom{k}{m} = 0.

Problema 2

Muestra las desigualdades

\displaystyle \frac{n^k}{k^k} \le \binom{n}{k} \le \frac{n^k}{k!}.

Problema 3

Muestra que \displaystyle \binom{n}{10} \sim \frac{n^{10}}{10!}.

Problema 4

  1. Muestra que, si los eventos A y B son excluyentes, entonces P(A) + P(B) = P(A\cup B).
  2. Muestra que, para cualquiera dos eventos A y B,

P(A\cap B) + P(A\cup B) = P(A) + P(B).

Problema 5

Al tirar un dado, considera los eventos P = “par”, I = “impar”, T = “múltiplo de 3” y G = “más grande que 3”. ¿Cuáles parejas de estos eventos son independientes? ¿Cuáles son excluyentes?

Problema 6

Muestra que \emptyset es independiente de cualquier otro evento. ¿Existe otro evento así?

Problema 7

Considera un experimento S que se repite n veces (n\ge 2), y sea s\in S. Si A es el evento que s sale primero, y B es el evento que s sale al final, muestra que AB son independientes.

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