Tarea 3, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 23 de febrero

Problema 1

Experimenta, haz una conjetura y demuestra, tanto por inducción como combinatóricamente, el valor de la suma

\displaystyle 0\cdot \binom{n}{0} +1\cdot \binom{n}{1} +2\cdot \binom{n}{2} + \ldots (n-1)\cdot \binom{n}{n-1} +n\cdot \binom{n}{n}.

Problema 2

Demuestra la identidad

\displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} +\cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0

interpretando combinatóricamente los términos positivos y negativos.

Problema 3

Demuestra combinatóricamente que

\displaystyle\binom{n}{0} + \binom{n}{1}2 + \binom{n}{2}4 + \cdots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}2^n = 3^n.

Problema 4

  1. ¿De cuántas formas puedes acodomodar 8 torres (iguales) en un tablero de ajedrez de tal forma que no se ataquen entre sí?
  2. Responde la pregunta anterior, pero si tenemos 4 torres blancas y 4 torres negras.
  3. Repite la pregunta, pero en el caso en que las 8 torres son distintas.

Problema 5

Las palabras ERRATA y BARBAS tienen el mismo número de anagramas, porque tienen el mismo número de letras con las mismas repeticiones (6 = 2 + 2+ 1 + 1). En ese caso decimos que las palabras son “esencialmente iguales”. Por ejemplo, SANTAS es esencialmente igual a ellas, también, pero HERRAJE no lo es (también tiene dos pares de letras repetidas, pero tiene 7 en total). Si dos palabras no son esencialmente iguales, entonces son “esencialmente distintas”.

  1. ¿Cuántas palabras distintas de 6 letras hay? (El afabeto tiene 27 letras.)
  2. ¿Cuántas palabras esencialmente iguales a BARBAS hay?
  3. ¿Cuántas palabras esencialmente distintas entre sí, de 6 letras, hay?
  4. ¿Cuántas palabras esencialmente distintas de n letras hay?

Problema 6

  1. ¿De cuántas formas podemos repartir n regalos entre k niños, si cada uno debe recibir al menos 2 regalos?
  2. ¿De cuántas formas podemos repartir n regalos entre 2k niños, si los primeros k de ellos debe recibir al menos 1 regalo? (El resto puede no recibir regalo.)

 

Problema 7

Utiliza la fórmula de Stirling para aproximar el valor de

\displaystyle \binom{n}{n/3},

donde n es un múltiplo de 3.

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