Tarea 2, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 16 de febrero

Problema 1

n niños y n niñas salen a bailar en parejas, ¿de cuántas formas pueden hacerlo? (Solo parejas niño-niña.)

Problema 2

Demuestra combinatóricamente que \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.

Problema 3

Ana tiene 10 pelotas. Primero, las separa en dos grupos (no necesariamente del mismo tamaño). En seguida, toma uno de los dos grupos, que tenga al menos dos pelotas, y lo separa en dos grupos. Así continúa separando cada grupo en dos, hasta que termina con puros grupos de una pelota.

  1. ¿Cuántos pasos le toma hacer esto?
  2. Muestra que el número de formas distintas en que puede hacer este proceso es
    \displaystyle \binom{10}{2}\cdot\binom{9}{2}\cdots\binom{2}{2}.

Problema 4

Demuestra la identidad

\displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} +\cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0

utilizando el principio de inclusión-exclusión.

Problema 5

De un grupo de estudiantes, a 23 de ellas les gusta jugar futbol, a 18 les gusta jugar ajedrez, a 21 andar en bicicleta y a 17 la caminata. Las que jugan futbol y ajedrez son 9, a 7 les gusta el ajedrez y la bicicleta, a 6 el ajedrez y la caminata, a 12 el futbol y la bicicleta, a 9 el futbol y la caminata, y 12 la bicicleta y la caminata. Ahora bien, a 4 de ellas les gusta el ajedrez, el futbol y la bicicleta, a 3 el futbol, el ajedrez y la caminata, a 5 el ajedrez, la bicicleta y la caminata, y a 7 el futbol, la bicicleta y la caminata. Finalmente, a 3 de ellas les gustan las cuatro actividades. ¿Cuántas estudiantes tenemos en total?

Problema 6

Esta vez tenemos 40 estudiantes, a 23 les gusta el futbol, a 18 el ajedrez, y a algunas de ellas les gusta andar en bicicleta. 9 juegan ajedrez y futbol, 7 juegan ajedrez y andan en bicicleta, y 12 juegan futbol y andan en bicicleta. Si a 4 de ellas les gustan las tres actividades, ¿a cuántas de ellas les gusta andar en bicicleta?

Problema 7

Muestra que, si tomamos 38 enteros pares positivos, menores que 1000, entonces al menos dos de ellos estarán a una distancia de a lo más 26.

Problema 8

En un cajón tenemos 6 pares de calcetines negros, 5 pares blancos, 5 pares rojos, y 4 pares verdes.

  1. ¿Cuántos calcetines tenemos que sacar del cajón para asegurar que sacamos un par del mismo color?
  2. ¿Cuántos tenemos que sacar para asegurar que sacamos dos de colores distintos?
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