La geometría del plano complejo

El objetivo de este (mini)proyecto es entender la geometría del plano complejo, en particular, la descripción de círculos y rectas, y su relación con un conjunto específico de transformaciones del plano.

Este proyecto está dirigido a los estudiantes de la Generación Lev Landau del Instituto Heisenberg, 2017, y las soluciones sometidas serán evaluadas. A la persona que someta la mejor solución, por la claridad de las explicaciones además de su exactitud, se le otorgará una copia del libro “Talentos ocultos”, de Margot Lee-Shetterly, durante la ceremonia de clausura del Instituto Heisenberg 2017.

Las soluciones deben ser sometidas por correo electrónico a la dirección del Instituto Heisenberg, instituto.heisenberg@gmail.com, con el asunto “Geometría del plano complejo”, hasta el miércoles 7 de junio de 2017.


Denotaremos el plano complejo como C, es decir, el conjunto de números z = x + yi visto en la Escuela del Instituto Heisenberg, donde x y y son reales. x es llamada la parte real, y y la parte imaginaria del número z. Recuerda que el conjugado del número complejo z = x +yi es \bar z = x - yi, es decir, el resultado de cambiar el signo su parte imaginaria. Nota que un número real satisface \bar z = z, y que un número puramente imaginario (o sea, de la forma ib) satisface \bar z = -z.

1

Explica por qué podemos describir una recta en C como el conjunto de números z tales que

az + b\bar z + c = 0,

donde b = \bar ac es real, o \bar b = -ac es puramente imaginario.

2

Discute por qué podemos describir un círculo en C como el conjunto de números z tales que

|z - z_0| = r,

donde z_0\in\mathbf C, r>0. |z| = \sqrt{x^2 + y^2} es el valor absoluto o módulo de un número complejo.

3

Establece condiciones en a, b, c, d\in\mathbf C para que la ecuación

a|z|^2 + bz + c\bar z + d = 0

describa un círculo en el plano complejo C.


El punto al infinito en C, denotado por \infty, se entiende como el límite de z cuando |z| crece indefinidamente, en cualquier dirección. Así, todas las rectas en C pasan por \infty.

De hecho, una recta puede entenderse como un “círculo que pasa por \infty“. Así, tres puntos distintos z_1, z_2, z_3\in\mathbf C definen un círculo. Si los tres son colineales, o si uno de ellos es \infty, dicho círculo es una recta.


Una transformación lineal fraccionaria es una función en C de la forma

T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d},

donde a,b,c,d\in\mathbf C y ad-bc\not=0.

La transformación puede ser descrita por la matriz

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.

4

Describe geométricamente las transformaciones asociadas a las matrices

\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.

5

Explica la razón de la condición ad-bc\not=0.

6

Si T(z) = \dfrac{az+b}{cz+d} y T(z)=w, resuelve para z y calcula z = T^{-1}(w).

7

Si T(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}, muestra que

T(\infty) = \dfrac{a}{c} y T(-\dfrac{d}{c}) = \infty.

¿Qué ocurre si c=0?


Sean z_1, z_2, z_3 tres puntos distintos de C, y considera la transformación

S(z) = \dfrac{z-z_2}{z-z_3}\cdot\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_2}.

8

Muestra que S(z_1)=1, S(z_2)=0, S(z_3)=\infty. Así, S(z) es la transformación lineal fraccionaria que envía los tres puntos z_1, z_2, z_3 a 1, 0, \infty.

9

Describe S(z) en el caso en que alguno de los puntos z_1, z_2, z_3 sea \infty.

10

Describe la transformación lineal fraccionaria que envía los puntos z_1, z_2, z_3 a los puntos w_1, w_2, w_3 (considera la inversa S^{-1}).


Es posible demostrar que las transformaciones lineales fraccionarias envían círculos a círculos en el plano complejo (incluyendo los que pasan por infinito, o sea, las rectas).

11

Utiliza lo visto anteriormente para obtener una transformación lineal fraccionaria que:

  • envíe la recta real al círculo unitario con centro en el origen;
  • envíe el círculo unitario con centro en el origen a la recta imaginaria;
  • envíe el círculo |z - 1|=1 a la recta diagonal x=y.

(Selecciona tres puntos de cada objeto, y calcula la transformación que envía los tres puntos del primero a los tres puntos del segundo).

12

Describe y dibuja la imagen de las rectas x=h y y=k, donde hk son enteros, bajo la transformación

T(z) = \frac{1}{z}.

13

Describe y dibuja la imagen de las rectas y = mx, con m cualquier número real (las rectas que pasan por el origen), bajo la transformación

T(z) = \dfrac{z+1}{z-1}.

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