Carlos Castaño Bernard

Mi área de investigación es la geometría algebraica aritmética, más precisamente, la aritmética de las curvas elípticas y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

El punto de partida de mi principal proyecto de investigación es un teorema de Gross, Kohnen y Zagier. Este teorema reduce la versión refinada de la conjetura de BS-D para curvas elípticas E de rango uno sobre Q a una relación muy simple que involucra básicamente el orden del grupo de Tate-Shavarevich y ciertas dos cantidades que provienen (de objetos de Heegner a través) de la parametrización modular de E. Mis investigaciones recientes sugieren fuertemente que cuando el conductor de E es primo, entonces la 2-parte de una de estas últimas dos cantidades se puede expresar como el cuadrado del orden del cokernel de la proyección canónica de E(Q) a E(R), cuando la 2-parte de Sha es trivial y exactamente la 2-parte de Sha, de otra manera.

He demostrado que el locus real de la curva modular que parametriza a E se puede expresar en términos de concatenaciones de ciertos segmentos de geodésicas de Heegner. Usando esto, junto con ciertas generalizaciones que he obtenido de resultados de Skoruppa sobre ciclos de Heegner, espero progresar en mi proyecto.

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